Diese hübsche Quizfrage habe ich in dem (trotz des Titels deutschsprachigen) Blog American Viewer gefunden.
Sie wandert schon einige Zeit durch das Internet. American Viewer führt sie auf einen Facebook-Eintrag von Raymond Johnson vom 20. 10. 2011 zurück, der sie eines Tages auf seiner Tafel stehend - er ist offenbar Lehrer oder Professor - vorgefunden habe.
Das ist aber mit Sicherheit nicht die eigentliche Quelle. Die meines Erachtens kompetenteste Diskussion zu diesem Thema habe ich einem Beitrag vom 11. Mai 2010 bei reddit gefunden (Näheres zu reddithier).
Wie ist es Ihnen mit diesem Quiz ergangen? Zunächst dachten Sie vermutlich, daß die Frage trivial ist oder eine Scherzfrage. Denn wenn man von vier Antworten eine nach Zufall auswählt, dann hat man natürlich - so scheint es auf den ersten Blick - eine Wahrscheinlichkeit von 25%, die richtige Antwort zu treffen. Also stimmt (A).
Wenn Sie bis (D) gekommen waren, dann haben Sie aber wahrscheinlich gestutzt: Da stand ein zweites Mal "25%".
Also hatten sie eine Chance von nicht 25%, sondern zweimal 25%, also 50%, die richtige Antwort zu treffen - indem Sie entweder (A) oder (D) zufällig wählten.
Oder? Ja, oder. Denn wenn Sie diese Chance von 50% hatten, dann war ja "25%" gar nicht die richtige Antwort; sondern diese lautete eben "50%".
Somit ist Antwort (B) richtig. Diese aber kommt nur einmal als Alternative vor. Also war die Wahrscheinlichkeit, sie zufällig zu treffen, nur 25%.
Womit wir wieder am Anfang wären.
Wer sich ein wenig mit Logik auskennt, der wird sich natürlich sogleich an zwei miteinander verwandte Paradoxe oder Antinomien erinnert haben: Die Antinomie des Lügners und das Russell'sche Paradox. (Besser als in der deutschen ist dieses in der internationalen Wikipedia erklärt).
Von der Antinomie des Lügners haben Sie wahrscheinlich schon gehört:
"Ein Kreter sagt: 'Alle Kreter sind Lügner'". Sagt er die Wahrheit, dann ist auch er ein Lügner. Also stimmt seine Behauptung gar nicht. Wenn aber die Kreter die Wahrheit sagen, dann stimmt auch seine Aussage, alle Kreter seien Lügner.
In dieser populären Form ist die Antinomie allerdings gar keine. Denn die Verneinung von "Alle Kreter sind Lügner" lautet nicht "Alle Kreter sagen die Wahrheit", sondern "Es gibt mindestens einen Kreter, der die Wahrheit sagt" oder "Einige Kreter sagen die Wahrheit".
Man muß also nur annehmen, daß dies der Fall ist und daß unser Kreter zu denjenigen unter den Kretern gehört, die lügen. Er lügt, indem er behauptet, alle Kreter würden lügen. Obwohl es doch nur einige sind, darunter er selbst.
Aus der Russell'schen Antinomie kommt man so einfach aber nicht heraus. Die bekannteste Illustration wird manchmal Bertrand Russell selbst zugeschrieben; aber er sah diese Illustration als nicht wirklich geeignet an, weil man durch bestimmte Annahmen aus dem Paradox herauskommen kann. Darauf gehe ich jetzt aber nicht ein.
Das Paradox wird üblicherweise ungefähr so formuliert:
"In einem Dorf rasiert der Barbier alle Männer (und nur diese), die sich nicht selbst rasieren. Rasiert er sich selbst?"
Wenn er sich selbst rasiert, dann rasiert er jemanden (nämlich sich), der sich selbst rasiert, was der Aussage widerspricht. Also rasiert er sich nicht selbst.
Rasiert er sich nicht selbst, dann widerspricht das ebenfalls der Aussage. Denn es gibt dann jemanden - ihn -, der sich nicht selbst rasiert und den er trotzdem nicht rasiert. Er rasiert also nicht alle Männer, die sich nicht selbst rasieren.
Da sagt einer: "Alles, was ich sage, ist gelogen." Dies ist in der Tat ein unlösbares Quiz, den wenn er die Wahrheit sagt, dann muss er ja gerade lügen. Wenn er aber lügt, dann sagt er immer die Wahrheit, was mit dem Satz aber nicht möglich ist.
Nachtrag: Oder er fühlt sich als Frau und legt fest, dass er Anita heißt.
---------------------------------------------------- "Nimm das Recht weg – was ist dann ein Staat noch anderes als eine große Räuberbande" - De civitate dei, IV, 4, 1. Übers.: Papst Benedikt XVI, Rede vor dem Deutschen Bundestag am 22. September 2011
Zitat von Jorge ArprinDas Kreter-Quiz kenne ich in einer anderen Form.
Da sagt einer: "Alles, was ich sage, ist gelogen." Dies ist in der Tat ein unlösbares Quiz, den wenn er die Wahrheit sagt, dann muss er ja gerade lügen. Wenn er aber lügt, dann sagt er immer die Wahrheit, was mit dem Satz aber nicht möglich ist.
Ja, stimmt. Aber das ist nicht die ursprüngliche, überlieferte Fassung, die sich schon im Titusbrief findet und die Sextus Empiricus dem Philosophen Eubulides zuschreibt.
Die prägnanteste Formulierung für das Paradox der Selbstreferentialität ist vermutlich "Dieser Satz ist falsch".
Eine hübsche Variante hatte einmal einer meiner Kollegen, ein Mathematiker, neben die Tür seines Dienstzimmers gepinnt:
Zitat von CalimeroJa, und nun? Er trägt Vollbart, gell?
Nachtrag: Oder er fühlt sich als Frau und legt fest, dass er Anita heißt.
Ja, da gibt es viele Varianten, lieber Calimero:
Er ist so jung, daß ihm noch kein Bart wächst. Oder er kommt täglich in das Dorf gefahren, gehört also gar nicht zu den Dorfbewohnern.
Aber das geht alles an der Sache vorbei. Es ist ja eben keine Scherzfrage, sondern ein logisches, im Grunde ein mathematisches Paradox; eben das Russell'sche Paradox:
Zitat Enthält die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten, sich selbst? Enthält sie sich selbst, dann ist es nicht die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten. Enthält sie sich selbst nicht, dann ist sie nicht die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten.
Russell hat als Lösung im Grunde nur ein Verbot vorgeschlagen, seine sogenannte Typentheorie. Eine gute Erläuterung dazu findet man in der Stanford Encyclopedia of Philosophy. Dort steht auch die knappste Forumierung dieses Russell'schen Verbots:
Zitat Whatever involves all of a collection must not be one of the collection.
Alles, was eine Gesamtheit vollständig umfaßt, darf nicht selbst Teil dieser Gesamtheit sein.
Daß die Mathematik Paradoxien durch Verbote entgegentritt, ist übrigens nicht selten. Das bekannteste Beispiel ist das Verbot, durch null zu dividieren.
Zitat Da sagt einer: "Alles, was ich sage, ist gelogen." Dies ist in der Tat ein unlösbares Quiz, den wenn er die Wahrheit sagt, dann muss er ja gerade lügen. Wenn er aber lügt, dann sagt er immer die Wahrheit, was mit dem Satz aber nicht möglich ist.
Vorsicht, auch das ist kein Paradoxon, sondern hat wieder die Lösung: Derjenige lügt gerade, aber nicht immer. Denn mathematisch ist das Gegenteil von "Alles was ich sage ist gelogen" eben nicht "Alles was ich sage ist wahr", sondern "NICHT alles was ich sage ist gelogen" (bzw. "Manches was ich sage ist wahr").
Übrigens mein einziger Fehler in meiner ersten Hausaufgabe zu diskrete Strukturen und Logik im ersten Semester Informatik (vor über 10 Jahren, aber unvergesslich :) ).
Zitat von ZettelDaß die Mathematik Paradoxien durch Verbote entgegentritt, ist übrigens nicht selten. Das bekannteste Beispiel ist das Verbot, durch null zu dividieren.
"Verbot" trifft das nicht besonders gut. Logische Schwierigkeiten an bestimmten Punkten sind für die Mathematiker immer der Ansatzpunkt, die Theorie zu erweitern. Russells Antinomie führte zur Mengen-Klassen-Hierarchie in der ZFC-Mengenlehre. Durch Null teilen kann man problemlos, wenn man den R^1 ein-Punkt-kompaktifiziert, allgemein zu projektiven Räumen übergeht.
-- Defender la civilización consiste, ante todo, en protegerla del entusiasmo del hombre. - Nicolás Gómez Dávila, Escolios a un Texto Implícito
Zitat von ZettelDaß die Mathematik Paradoxien durch Verbote entgegentritt, ist übrigens nicht selten. Das bekannteste Beispiel ist das Verbot, durch null zu dividieren.
"Verbot" trifft das nicht besonders gut.
Mag sein, lieber Gorgasal. Dann hat Russell selbst es eben nicht besonders gut getroffen.
Hier noch einmal sein O-Ton:
Zitat von Bertrand RussellWhatever involves all of a collection must not be one of the collection.
"Must not" heißt "darf nicht". Das ist ein Verbot, oder nicht?
Ich habe vor etlichen Jahren einmal den schönen Aufsatz eines Mathematikers gelesen, der solche Verbote in der Geschichte der Mathematik zusammengestellt hat. Leider ist mir sein Name entfallen. Falls ich den Aufsatz noch finden sollte, melde ich mich.
Ansonsten haben Sie natürlich Recht: Das Verbot ist immer nur einer der Aspekte, unter denen solche Schwierigkeiten gelöst werden. Der produktivere Aspekt sind die Erweiterungen der jeweiligen Theorie.
Zitat von MichelJa, aber warum sollte, die richtige Lösung auch eine der vorgegebenen Alternativen sein. Mir erschließt sich nicht warum das zwingend sein sollte.
Es ist, lieber Michel, einfach eine Voraussetzung. Die Aufgabe lautet, eine der vorgegebenen Alternativen zu wählen. Darauf basiert ja die Frage, wie groß die Zufallswahrscheinlichkeit ist, daß man die richtige trifft.
Natürlich ist, wie C. richtig anmerkt, der Trick dabei, daß eine der Antwortmöglichkeiten in zwei Alternativen (A und D) genannt wird. (Sie sagt umgekehrt: Eine der Alternativen in zwei Antwortmöglichkeiten; aber das ist eine Frage der Wortwahl). Wenn Sie sich für "0%" entscheiden, dann spielen Sie das Spiel nicht mit.
Nein, die Lösung des Quiz ergibt sich doch nicht daraus, tatsächlich blind eine Alternative zu ziehen, sondern die Aufgabe besteht darin, die Frage zu beantworten wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist die richtige Antwort zu tippen. Und das ist eindeutig, die Alternativen 60% und 50% werden mit 25% Wahrscheinlchkeit getippt, die Alternative 25% mit 50%. Bei der richtigen Lösung müssten die Wahrscheinlichkeit aus der Alternative mit der Wahrscheinlickeit sie zu tippen übereinstimmen. Das ist für keine der Alternativen der Fall, es ist also unmöglich die richtige Antwort zu tippen, damit ist die Wahrscheinlichkeit die Richtige Antwort zu tippen 0%.
Zitat von MichelNein, die Lösung des Quiz ergibt sich doch nicht daraus, tatsächlich blind eine Alternative zu ziehen, sondern die Aufgabe besteht darin, die Frage zu beantworten wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist die richtige Antwort zu tippen.
Sie zu beantworten, indem man eine der vorgegebenen Alternativen wählt; das ist die Voraussetzung von Multiple Choice. Wenn ein Abiturient einen Medizin-Zulassungstest macht, kann er sich natürlich weigern, eine der Alternativen zu wählen, und etwas anderes an den Rand schreiben. Einen Punkt wird er dann allerdings nicht bekommen.
Zitat von MichelUnd das ist eindeutig, die Alternativen 60% und 50% werden mit 25% Wahrscheinlchkeit getippt, die Alternative 25% mit 50%. Bei der richtigen Lösung müssten die Wahrscheinlichkeit aus der Alternative mit der Wahrscheinlickeit sie zu tippen übereinstimmen. Das ist für keine der Alternativen der Fall, es ist also unmöglich die richtige Antwort zu tippen
Richtig. Die Wahrscheinlichkeit ist aber auch nicht Null; dann das würde ja voraussetzen, daß Sie sich überhaupt für eine der Antworten entscheiden.
Was wäre eigentlich bei folgender Variante?
(A) 50%
(B) 25%
(C) 60%
(D) 50%
Sind hier alle Antworten außer (C) richtig? Haben wir hier also das Paradox, daß sowohl "25%" als auch "50%" stimmen, was ja eigentlich nicht gut sein kann?
Zitat von Gorgasal"Verbot" trifft das nicht besonders gut. Logische Schwierigkeiten an bestimmten Punkten sind für die Mathematiker immer der Ansatzpunkt, die Theorie zu erweitern. Russells Antinomie führte zur Mengen-Klassen-Hierarchie in der ZFC-Mengenlehre.
Diese Hierarchie, wenn man sie so nennen möchte, kommt ja wesentlich dadurch zustande, daß Komprehension durch Aussonderung ersetzt wird, unf das kann man durchaus als ein Verbot ansehen, Objekte anhand irgendwelcher Eigenschaften direkt aus dem Mengenuniversum herauszugreifen und in Mengen zusammenzufassen. Stattdessen muß eine alle fraglichen Objekte umfassende Menge schon vorher existieren.
Eine interessante Frage wäre auch, was es eigentlich bedeuten soll, daß man eine Theorie erweitert. Die Ersetzung von Komprehension durch Aussonderung in der Mengenlehre ist ja intuitiv eher eine Einschränkung - auch insofern, als man in der neuen Theorie hoffentlich weniger Sätze beweisen kann als in der alten.
Zitat Sie zu beantworten, indem man eine der vorgegebenen Alternativen wählt; das ist die Voraussetzung von Multiple Choice. Wenn ein Abiturient einen Medizin-Zulassungstest macht, kann er sich natürlich weigern, eine der Alternativen zu wählen, und etwas anderes an den Rand schreiben. Einen Punkt wird er dann allerdings nicht bekommen.
Sie verwechseln Multiple Choice mit Single Choice. Man kann in der Tat Multiple Choice beantworten in dem man keine Alternative wählt. Bei Single Choice muss man sich tatsächlich für eine Antwort entscheiden, bei Multiple Choice ist die Frage Richtig beantwortet, wenn man alle richtigen Antworten und keine Falsche angekreuzt hat. In dem Fall also wenn man keine Alternative auswählt. Das ändert aber nichts daran, dass die Antwort auf die gestellte Frage 0% ist.
Zitat Die Wahrscheinlichkeit ist aber auch nicht Null; dann das würde ja voraussetzen, daß Sie sich überhaupt für eine der Antworten entscheiden.
Nein die Wahrscheinlichkeit ist doch unabhängig davon, was ich bewusst tippen würde.
Zitat Sind hier alle Antworten außer (C) richtig? Haben wir hier also das Paradox, daß sowohl "25%" als auch "50%" stimmen, was ja eigentlich nicht gut sein kann?
Es ist entweder A und D oder B richtig, aber es liegt außerhalb unseres Erkenntnisvermögens zu sagen, ob A und D oder B.
Zitat von ZettelDie Wahrscheinlichkeit ist aber auch nicht Null; dann das würde ja voraussetzen, daß Sie sich überhaupt für eine der Antworten entscheiden.
Diesen Einwand verstehe ich nicht. Wird getippt, so wird jedenfalls falsch getippt. Wird nicht gtippt, so wird jedenfall auch nicht auf die richtige Antwort getippt. Man könnte sich noch den Kopf darüber zerbrechen, was der Ausdruck "die richtige Antwort" eigentlich bezeichnet, aber damit dürften sie als Russellianer ja auch kein Problem haben.
Zitat von Zettel (A) 50%
(B) 25%
(C) 60%
(D) 50%
Was die richtige Antwort ist, ist unterbestimmt; aber sowohl 50% als auch 25% wäre konsistent vertretbar.
Zitat Sie zu beantworten, indem man eine der vorgegebenen Alternativen wählt; das ist die Voraussetzung von Multiple Choice. Wenn ein Abiturient einen Medizin-Zulassungstest macht, kann er sich natürlich weigern, eine der Alternativen zu wählen, und etwas anderes an den Rand schreiben. Einen Punkt wird er dann allerdings nicht bekommen.
Sie verwechseln Multiple Choice mit Single Choice.
Ich verwende, lieber Michel, den Begriff "Multiple Choice" so, wie er in den Sozialwissenschaften und der Psychologie verwendet wird. Das "multiple" bezieht sich auf die Antwortalternativen, nicht die Antworten: Aus mehreren (multiple) Antworten soll in der Regel eine einzige ausgewählt werden. Es gibt allerdings auch die Variante, daß mehrere Nennungen möglich sind. Beides heißt "Multiple Choice".
Falls Sie mir's nicht glauben, lieber Michel: Lesen Sie vielleicht den Artikel in der Wikipedia?
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